コンデンサの単位がAh(アンペア・アワー)に代替できない理由

公開・2008年07月10日
  • 2021/5/20 外部サイトに換算式が乗っていたので追記
  • コンデンサの容量の単位→μF(マイクロファラド)
  • リチウム電池とか→mAh(ミリアンペア・アワー)

マイクロとかミリとかはいいとして、なぜコンデンサはAhで示されないのか

ちょっと考えてみたけど「なんかの次元がたりないのかもね〜」程度の 曖昧な考えしか出来なかったので、真面目に考えてみる

要するに・・・

この問題は、なぜF(静電容量)とAh(放電容量)が換算できないのか という問題に帰着する。

単位の次元

違いを考えるために、とりあえず愚直に単位の次元を考えてみる。

静電容量について。定義から、 C=As C = As 、V=kg⋅m2⋅s3⋅A V=kg \cdot m^2\cdot s^3 \cdot A

ここから導くと

F=C⋅V−1=(A⋅s)⋅(kg−1⋅m−2⋅s−3⋅A−1) F = C \cdot V^{-1} = (A \cdot s) \cdot ( {kg}^{-1} \cdot m^{-2} \cdot s^{-3} \cdot A^{-1} )

次に、放電容量について。次元のみに着目すると、h(時)＝s(秒)つまり、

Ah=A⋅s Ah=A \cdot s

Fに比べるとAhはやけにシンプル。まぁ単位その物が原始的な次元になってるからね。。。

さて、二つを比較してみると差は明らか。Fの後半のややこしい部分、つまり電圧部分の次元が、Ahには丸ごとなくなっている。

つまり、電圧が与えられていないと、FとAhは変換できない、ということ。

・・・分かったような、分からないような。

真面目に考察してみる

とりあえず、エネルギーを計算して考えてみる。(大括弧内は単位)

まずは、リチウム電池について。 電池の放電容量をD[As]、出力電圧をVbat[V]とする。この二つの値は、電池の種類によって固定される。 放電時間をt[s]とすると、P=IV[W=AV] P = IV [ W=AV ] なので、

Pt=DVbat Pt=DV_{bat}

Pt=E[Ws=J] Pt=E[Ws=J] なので、

E=DVbat E=DV_{bat}

となる。変数は無い (すべて電池の定数) ので、最大エネルギーの値は完全に電池依存。

次に、コンデンサが充電されたときのエネルギーを考える。 コンデンサの容量をC[F]とする。これはコンデンサの種類で固定。で、あと充電電圧Vcap[V]が必要。 高校物理のとき(だったっけ?)に習った、静電エネルギーの公式E=1/2CVを使う。 Q=CV Q=CV なので、

E=12CVcap2 E=\frac{1}{2}C{V_{cap}}^2

Cはコンデンサの定数だけど、Vcapは充電時の電圧なので、電池だけでは決定されない、という意味で変数ということになる。

要するに・・・(結論)

  • 電池の放電容量の値→完全に電池依存
  • コンデンサの静電容量の値→コンデンサと充電電圧に依存

要するに、コンデンサは充電時の電圧によってエネルギー容量が変わるから、コンデンサを決めただけでは放電容量は決められない、ということだ。

電池の出力電圧は電極(と電解液?)に依存する、っていうのは化学で習ったとおり。つまり、電池はどうやって充電しても、出力電圧は一定になる。だから充電電圧には依存しない。

このように、化学変化を利用する電池と、物理現象のみを利用するコンデンサ、という根本的な原理の違いから、結局のところ単位の違いが出てくるわけだ。

換算式

無謀にも換算式を考えてみる。

上の式、E=DVbat E=DV{bat} と、 E=12CVcap2 E=\frac{1}{2}C{V{cap}}^2 から

12CVcap2=DVbat \frac{1}{2}C{V{cap}}^2 = DV{bat}

D[As]=CVcap22Vbat D[As] = \frac{C{V{cap}}^2}{2V{bat}}

As(アンペア秒)をAh(アンペア時)に変換すると

D′[Ah]=CVcap27200⋅Vbat D'[Ah] = \frac{C{V{cap}}^2}{7200 \cdot V{bat} }

(D': 放電容量[Ah]、C:静電容量[F]、Vcap:コンデンサの充電電圧[V]、Vbat:電池の公称電圧[V])

ただし、コンデンサと電池では電圧の取り出し方がぜんぜん違う。なので、電圧の変換とかにかかるロスやら電圧降下やらで、一概に比較することはできないようです。 あと電池も理想状態のみで計算しているし。

計算してみる

秋月に売ってた電気二重層スーパーキャパシタ。120F、最大定格で使うと2.5V。 これを公称3Vの電池で換算してみる。

D=CVcap27200⋅Vbat=120×2.5×2.57200×3=0.0347 \begin{align} D & = & \frac{C{V{cap}}^2}{7200 \cdot {V{bat}}} \ & = & \frac{120 \times 2.5 \times 2.5}{7200 \times 3} \ & = & 0.0347 \end{align}

答え: 34.7mAh。 (小数点二位以下は丸めています)

んー。。。こんなもんなのか。

ていうかここまで書いて何だけど、何気にこの記事の内容は自信ないな・・・。 絶対考え方間違えてる気がする。誰かに見てもらいたい。

(2021/5/21 追記)

以前のブログ (sunagae.net) でコメントに書いていただいていたのですが、電気二重層コンデンサ - 放電時間の算出方法 | エルナー株式会社 のページによると換算式は

④公称電池容量に換算する場合
Ah = 0.5 × C × V02 / (3600 × Vb)

このようになっていて、係数項をまとめれば本記事と同じになります。 どうも少なくともこことは結論は一致しているっぽいです。

kag9さんコメントありがとうございました。